Švejda se narodil v prosinci 1939 v Brně. Svůj lyrický tenor si vytříbil především na italské hudbě a brzy se propracoval k širokému repertoáru, který zahrnoval významné role světové i české operní literatury, počínaje tvorbou barokní a klasickou, přes hudební díla 19. a 20. století až po současnou produkci.
Členem souboru Opery Národního divadla byl Švejda od roku 1969. Ve stálém angažmá byl do poloviny roku 2004 a posléze ještě od října 2004 do června 2005.
V národním divadle zpíval téměř všechny úlohy smetanovské, dvořákovské a janáčkovské. V díle Bohuslava Martinů vynikl jako Michel v Juliettě a Manolios v Řeckých pašijích, jednou z jeho vrcholných rolí byl i Stravinského Oidipus. Spolupracoval často s televizí a rozhlasem. Působil i na operních scénách a koncertních pódiích řady hudebních evropských center.
